Проблема доказательства аксиом в математике

2010-11-18  Иван Лемешко Версия для печати

«Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта... Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии» [1, c. 572]. История исследований в области оснований математики в XIX веке хорошо иллюстрирует это положение Энгельса. Обоснование дифференциального и интегрального исчисления в классических трудах Коши и Вейерштрасса покончило с теми претензиями, которые выдвигал Беркли, справедливо подмечая слабые стороны математики своего времени. Но при этом обосновании прочной опорой считалось понятие действительного числа. Таким образом, возникла потребность в теории действительных чисел, которая и была создана во второй половине XIX века. Действительные числа в свою очередь были сконструированы из натуральных. В это же время появилась теория множеств, которая дала всей математике единую форму выражения и вместе с тем вскрыла фундаментальные антиномии. Тогда и закончилось триумфальное шествие единого фронта исследований в области оснований математики. Конечно, мы теперь можем видеть первые признаки надвигавшейся грозы, например, в особой позиции Гаусса и Кронекера относительно актуальной бесконечности в математике. Но только открытие теоретико-множественных парадоксов сделало очевидным для всех конец целой эпохи в истории аксиоматического подхода.  

Основные направления поиска путей выхода из кризиса - формализм, интуиционизм и логицизм - несмотря на все их различия, объединяло понимание того, что процесс доказательства аксиом достиг того узлового пункта, где становится невозможным безразличное отношение к сущности математики. Каждое из этих направлений дало развернутое понимание этой сущности, и каждое из трех - идеалистическое.

Между тем ясно, что при достижении указанной узловой точки достигается и граница применимости способа действия, принятого в XIX веке, а именно конструирования одних математических объектов из других (в некотором смысле единственным исходным материалом для конструирования оказывается пустое множество). На повестку дня встает рассмотрение отношения математики к логике, но не в обычном узком смысле, не к формальной логике, а к логике становления форм человеческой деятельности, к диалектической логике. Иначе нельзя будет найти объективное основание для разрешения спора классиков о том, что имеет право на существование в математике.

При таком понимании логики сразу становятся видны недостатки позиции Пуанкаре, считавшего, что только то имеет право на существование в математике, что свободно от противоречия. Разумеется, в процессе развития науки противоречия снимаются, но снятие, хотя и содержит момент отрицания, не сводится к нему. Современная математика, таким образом, не свободна от тех противоречий, на которые указывал Беркли, несмотря на то, что эти противоречия давно разрешены в ходе развития науки. Сама возможность позиции Пуанкаре обусловлена крайне формальным пониманием противоречия как простого свидетельства неправильности (отождествляемого с неистинностью) мышления. Так понимаемое противоречие венчает доказательство; действительное же противоречие, наоборот, представляет собой исходный пункт исследования и вновь возникает в его конце.

Не приходится удивляться тому, что при таком понимании противоречия, общем для математиков, наиболее жаркие споры развернулись вокруг закона исключенного третьего, то есть, в конечном счете, вокруг такого противоречивого понятия, как бесконечность. «Бесконечность есть противоречие, и она полна противоречий. Противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так» [1, c. 51]. Уже из этого видно, что финитистское намерение навсегда избавиться от противоречий неосуществимо, а методом финитистов - сведением бесконечности к конечному - и подавно. «Именно потому, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» [1, c. 51]. Это, по-видимому, чувствовали интуиционисты (Маркс заметил однажды, что каждый род занятий вырабатывает свои чувства; в этом контексте интересно проследить связь между топологическими исследованиями интуиционистов и их взглядами на математику). Но интуиционизм рассматривал бесконечность не как «развертывающийся во времени и пространстве процесс», а как неограниченный процесс порождения воображением математических представлений.

Интересно отметить, что в этих спорах вокруг закона исключенного третьего иногда имело место воспроизведение на новом уровне ситуации XVIII века, когда законность метода обосновывалась ценностью результатов, которые он позволяет получить (см. заявление Гильберта о том, что отнять у математиков право пользоваться законом исключенного третьего - то же самое, что запретить боксерам пользоваться руками). С тех пор самое большее, что удалось сделать - посредством весьма изощренных приемов избавиться от наличных антиномий. Все сознают, что это никоим образом не гарантирует невозможности открытия в будущем новых антиномий.

Не стоит считать такое положение этапом вечного цикла колебаний строгости в математике. В конце концов, все формы общественного сознания перестанут существовать в современном виде; все частные науки сольются в одну. Можно предположить, что математика, первая наука, выделившаяся из совокупности знаний человечества, последней вольется в единую науку будущего, и что не последнюю роль в этом процессе будут играть исследования по основаниям математики. 

1. Маркс К. и Энгельс Ф. Собр. соч., т. 20

наука